BAB 2 Fungsi Linier

April 8, 2010

Pengertian

Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.

Bentuk umum persamaan linier adalah :

y = a + bx

dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.

2.2.Pembentukan Persamaan Linier

Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pada data yang tersedia. Berikut ini dicontohkan empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keempat cara yang dimaksud adalah :

Cara dwi-koordinat

Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2),maka rumus persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal:

Misalkan diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:

4y -12 = 2x – 4, 4y = 2x+ 8 , y = 2 + 0,5 x

Cara koordinat-lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal :

Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah

Cara penggal-lereng

Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu (a) dan lereng garis (b) yang memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan liniernya adalah :

y=ax+b ; a = penggal, b = lereng

Contoh Soal :

Andaikan penggal dan lereng garis y =f (x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan liniernya adalah : y=2+5x

Cara dwi-penggal

Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masing-masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horisontal ( ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah :

; a = penggal vertikal, b = penggal horisontal

Contoh Soal :

Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4 , maka persamaan liniernya adalah :

2.3.Hubungan Dua garis lurus

Berimpit

Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian , garis akan berimpit dengan garis , jika

Sejajar

Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan sejajar dengan garis , jika

  1. Berpotongan

Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan berpotongan dengan garis , jika

Tegak lurus

Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis akan tegak lurus dengan garis , jika atau

Penerapan Ekonomi

Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Fungsi Permintaan

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen, harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling berhubungan dan selera konsumen

Bentuk Umum Fungsi Permintaan :

Q = a – bP  atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.

Fungsi Penawaran

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh produsen dengan variabel  harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat teknologi yang tersedia, harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga produk lain yang berhubungan dalam produksi, harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang

Bentuk Umum :

Q = -a + bP  atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan,

hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.

Keseimbangan Pasar

Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Syarat Keseimbangan Pasar  :

Qd = Qs

Qd = jumlah permintaan

Qs = jumlah penawaran

E    = titik keseimbangan

Pe = harga keseimbangan

Qe = jumlah keseimbangan

Contoh Soal  :

Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawarannya  adalah Qs =  – 4 + 9P

a.  Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?

b.  Tunjukkan secara geometri !

Jawab  :

a.)  Keseimbangan pasar :

Qd =     Qs

10 – 5 P           =  – 4 + 9P

14P       =     14

P       =      1  ≡  Pe

Q    =  10 – 5P

Q     =  5      ≡ Qe

Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )

2.4.2.Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar

Jika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak sebagian dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang yang diminta akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut.

Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t

Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen :   tk =  Pe‘ – Pe

Beban pajak yang ditanggung oleh produsen :    tp =  t – tk

Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah :    T  =  t x Qe

Contoh soal  :

Diketahui suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 7 + Q dan fungsi penawaran

P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit

  1. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
  2. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
  3. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?

Jawab :

  1. Keseimbangan pasar sebelum pajak

Qd =      Qs

7 + Q    =  16 – 2Q                              P  =  7 + Q

3Q        =  9                                         P  =  7 + 3

Qe =  3                                         Pe =  10

Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )

Keseimbangan pasar sesudah pajak

Fungsi penawaran menjadi :

P    =  16 – 2Q + t

=  16 – 2Q + 3

=  19 – 2Q                                           Os     =      Qd

19 – 2Q  =   7 + Q

3Q     =    12

Qe‘  =    4

P     =  19 – 2Q

=  19 – 8

Pe‘   =  11

Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 4,11 )

  1. T    =  t x Qe

=  3 . 4

=  12  ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )

  1. tk =  Pe‘ – Pe

=  11 – 10

=  1  ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 1,- )

tp =  t – tk

=  3 – 1

=  2  ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 2,- )

2.4.3.Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar

Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah.

Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s

Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen :   sk =  Pe – Pe

Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen :    sp =  s – sk

Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah :    S  =  s x Qe

Contoh Soal  :

Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd = 12–2P sedangkan penawarannya Qs =  -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.

a.  Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?

b.  Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?

c.  Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?

d.  Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?

Jawab  ;

a.)    Keseimbangan pasar sebelum subsidi

Qd =     Qs Q  =  12 – 2P

12 – 2P  =  -4 + 2P                                         =  12 – 8

P       =   16                                           Qe =  4

Pe =    4                    ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 ))

b.)    Keseimbangan pasar sesudah subsidi :

Qd   =  12 – 2P    =>     P  =  ½ Qd + 6

Qs   =  -4 + 2P     =>     P  =  ½ Qs + 2

Sesudah Subsidi Fungsi Penawaran menjadi

P  =  ½ Q + 2 – 2

P  =  ½ Q

Sehingga Kesimbangan pasar sesudah subsidi menjadi :

- ½ Q + 6  =  ½ Q

Qe‘     =    6

P  =  ½ Q

Pe‘  =  3

( Keseimbangan pasar setelah subsidi E’ = ( 6, 3 ) )

c.)     sk =  Pe – Pe‘                                                              sp =  s – sk

=   4 – 3                                                                              =  2 – 1

=  1                                                                                     =  1

(Besar subsidi untuk konsumen Rp. 1,- )     ( Besar subsidi untuk produsen = Rp. 1,- )

d.)  Subsidi yang diberikan pemerintah

S    =  s x Qe

=  2 . 6

=  12

2.4.4.Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan

Fungsi Biaya

Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, biaya tetap merupakan sebuah konstanta. Sedangkan biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya variabelnya. Secara matematik, biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan.

FC = k

VC = f(Q) = vQ

C = g (Q) = FC + VC = k + vQ

Keterangan ;

FC = biaya tetap

VC= biaya variabel

C = biaya total

k = konstanta

V = lereng kurva VC dan kurva C

Contoh Soal :

Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20.000 sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 100 Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya ! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 500 unit barang ?

Jawab :

FC = 20.000

VC = 100 Q

C = FC + VC → C = 20.000 +  100 Q

Jika Q = 500, C = 20.000 + 100(500) = 70.000

Fungsi Penerimaan

Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.

R = Q x P = f (Q)

Contoh Soal:

Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ?

Jawab :

R = Q x P

= Q x 200 = 200Q

Bila Q = 350 → R = 200 (350)  = 70.000

2.4.5.Analisis Pulang Pokok

Analisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Contoh Soal :

Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 20.000 + 100 Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami pulang pokok ? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 unit ?

Jawab ;

Diketahui :

C  =  20.000 + 100Q

R  =  200Q

Syarat Pulang Pokok

R  =  C

300Q  =  20.000 + 100Q

200Q  =  20.000

Q  =  100

Jadi pada tingkat produksi 100 unit dicapai keadaan pulang pokok

Jika Q = 150, maka

π = R – C

= 300Q  – ( 20.000 + 100Q)

=     200 Q – 20.000

= 200(150) – 20.000

= 10.000

( Perusahaan mengalami keuntungan sebesar Rp. 10.000,- )


Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.